Исследование частотных характеристик дросселей в широком диапазоне частот

Авторы: Дмитриков В.Ф., Кушнерев Д.Н., Фрид Л.Е., Чмутин Д.Е.

В статье предложена математическая модель полного сопротивления дросселя с ферромагнитным сердечником, полученная на основе теории доменных структур ферромагнетиков. Предложенной модели дросселя поставлены во взаимно-однозначное соответствие электрические эквивалентные схемы замещения дросселя, позволяющие с достаточной для инженерных расчетов точностью рассчитать полное сопротивление дросселя в широком диапазоне частот.

При проектировании широкого класса радиоэлектронных изделий различного функционального назначения разработчикам аппаратуры необходимо знать частотные характеристики сопротивления дросселей в широком диапазоне частот. Например, при расчете сетевых помехоподавляющих фильтров в соответствии со стандартами по электромагнитной совместимости необходимо контролировать частоты от единиц килогерц до десятков мегагерц. Известно, что комплексное сопротивление дросселя (КСД) с сердечником может быть вычислено по формуле 1:

Где µ₀ - абсолютная магнитная проницаемость;
µ - магнитная проницаемость материала сердечника;
W - число витков обмотки дросселя;
S_c - эффективное сечение магнитопровода;
l_c - средняя длина силовой линии;
ω – круговая частота;
j – мнимая единица.

В широком диапазоне частот входящая в выражение (1) величина – магнитная проницаемость µ для всех современных магнитных материалов имеет существенную частотную зависимость, которая должна быть учтена при расчетах. В противном случае, как будет показано ниже, имеют место значительная погрешности в определении КСД.

В современной технической литературе магнитную проницаемость принято представлять комплексным числом с частотно-зависимыми вещественной и мнимой частями [1, 4, 5]:

В каталогах фирм производителей ферромагнитных сердечников составляющие магнитной проницаемости μ'(ω) и μ''(ω) приводятся в виде графиков см. рис. 1., экспериментально измеренных для различных магнитных материалов [7, 8].

Прямое использование графических зависимостей μ' (ω) и μ''(ω) при расчете КСД по формуле (1) достаточно трудоемкий процесс, что затрудняет проектирование аппаратуры, работающей в широком спектре частот. Необходимые расчеты могут быть существенно упрощены, если комплексное сопротивление дросселя z(jω) и магнитная проницаемость μ(jω) будут выражены дробно-рациональными функциями с положительными вещественными коэффициентами.

В известных работах, посвященных теории и расчету магнитных радиокомпонентов [10-15], приводятся результаты, позволяющие учитывать при расчете z(jω) так называемые «паразитные» емкости, обусловленные влиянием электрического поля в ближней зоне катушки дросселя, при этом влияние на z(jω) магнитной составляющей электромагнитного поля (обуславливающего зависимость магнитной проницаемости от частоты) в указанной литературе не рассматривается.

I. Физическая модель

Основополагающие теоретические исследования частотных характеристик магнитной проницаемости ферромагнитных материалов представлены в трудах по теории ферромагнетизма [1, 2, 3] и в специальных работах, посвященных технологии изготовления ферромагнитных материалов [4, 5, 6].

В цитируемых работах ферромагнетик рассматривается как доменная структура, находящаяся в отсутствии магнитного поля в равновесном состоянии и характеризующаяся начальной намагниченностью М₀. При воздействии на материал магнитным полем напряженностью Н доменная структура выходит из своего равновесного состояния и переходит в состояние с намагниченностью М. Внутри доменов все магнитные моменты атомов параллельны друг другу, т.е. div B=0. Магнитный поток основных доменов непрерывно переходит в магнитный поток соседних доменов через систему замыкающих доменов вблизи торцевых поверхностей. Результирующая намагниченность такой системы доменов равна нулю, при этом нормальная составляющая намагниченности непрерывна на всех поверхностях, а также на границах между доменами.

Согласно [1-6] изменение намагниченности материала М приводит к изменению положения доменных границ, которое может быть охарактеризовано величиной смещения положения доменной границы при равновесной намагниченности М₀ до положения доменной границы при намагниченности М:

Х₀– положение доменной границы при намагниченности М₀
X – положение доменной границы при намагниченности М
На основе законов механики, движение доменных границ может быть описано феноменологическим уравнением в следующем виде:
, где
- сила инерции движения доменной границы с эффективной массой m;
– сила трения;
β – коэффициент трения;
F_y=kx – упругая сила доменных границ;
k – коэффициент упругости;
F_M=2µ₀ M_sH – сила, действующая на доменную границу со стороны магнитного поля H;
М_s– намагниченность насыщения;
μ₀ – абсолютная магнитная проницаемость
Коэффициенты m, β, k феноменологического уравнения (2) могут быть определены из соответствующих экспериментов [4] или, как это будет показано далее - из частотных характеристик μ(j ω) или z(jω).
Подставляя в (2) значения соответствующих слагаемых, получим:

Как видно из (3), движение доменных границ описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

В процессе движения доменных границ, когда вся энергия движения переходит в потенциальную энергию упругих сил, т.е движение x(t) прекращается и уравнении (3) можем записать:

Для медленных процессов

где µ_н - начальная магнитная проницаемость на низких частотах (до 1 кГц).
Следовательно:

Подставляя (4) в (3), получим:

Перейдя в уравнении (5) от оригиналов к изображениям, можем записать:

где p – оператор Лапласа,
B(p), H(p) – изображения временных функций B(t) и H(t) соответственно.
Тогда:
Из структуры операционного уравнения (7) следует, что передаточная функция в переменном магнитном поле описывает колебательное звено второго порядка с параметрами:
– постоянная времени колебательного звена;
ω₀ – угловая частота собственных колебаний доменной структуры;
ξ – коэффициент затухания колебаний доменных структур;
μ₀μ_Н – коэффициент передачи по постоянному сигналу.
Анализируя (7), можно увидеть, что для низких частот, тогда уравнение (7) преобразуется к общеизвестному виду (8):
B=µ_нµ₀H (8)
Если же частота колебаний Н(t) близка или вышеω₀, необходимо пользоваться соотношением (7).

Учитывая, что комплексное выражение для μ(p) входит в выражение (1) сомножителем, не трудно найти выражение для комплексного сопротивления дросселя Z(p). Для этой цели запишем известные соотношения между изменением потока Ф, пронизывающего контур и наводимой в контуре ЭДС - E(t) и выражение для тока в контуре:


где E(t)- напряжение на клеммах дросселя;
I(t) – ток в обмотке дросселя;
S_c – площадь сечения сердечника;
l_c – средняя длина силовой линии сердечника;
W – количество витков в катушке дросселя.
Переходя в (8.1) и (8.2) от оригиналов к изображениям получаем:


Подставляя (8.3) и (8.4) в (7) , получим:

Тогда выражение комплексного сопротивления дросселя можно записать:

Или в развернутом виде:

Для низких частот, когда µ(p)≅µ_н выражение (9) преобразуется в известное соотношение (1). На практике с достаточной для инженерных расчетов точностью при вычислении Z(p) можно пользоваться формулой (1), если частота ω<ω₀ *0,25 если ω> ω₀ *0,25, то следует пользоваться формулами (9) или (10).

II. Схема замещения

Из выражения (10) следует, что функция полного комплексного сопротивления дросселя Z(p) является дробно рациональной с положительными вещественными коэффициентами. Степень полинома числителя дроби не более чем на единицу отличается от степени полинома знаменателя. Следовательно, функция z(p) удовлетворяет критерию физической реализуемости двухполюсников на сосредоточенных элементах типа R, C, L. Поэтому найденному представлению (10) для Z(p) может быть поставлена во взаимно-однозначное соответствие электрическая схема замещения, изображенная на рис. 2.

Для схемы замещения рис.2 можем записать:

Как видно выражения (10) и (11) имеют одинаковую структуру. Тогда, Z_э(p) можем представить в виде:

Двухполюсник рис.2 может рассматриваться как схема замещения дросселя с сердечником с общим сопротивлением z(p), определяемым выражением (12), если Z(p)=Z_э(p).
В свою очередь данное равенство справедливо, если:
L_э=L;
ξ_э=ξ;

В данном случае (с учетом введенных выше обозначений) для определяемых значений параметров эквивалентной схемы рис.2 можем записать:
L_Э=L (13а)


Выражение (12) формулы для расчета (13 а, б, в) имеют определенный физический смысл, так например:
- величина – собственная резонансная частота материала, зависящая только от свойств материала;
- эквивалентная индуктивность L=L_Э представляет в эквивалентной схеме элемент, который запасает энергию магнитного поля сердечника ;
- эквивалентное сопротивление – представляет в эквивалентной схеме замещения суммарные потери в сердечнике;
- эквивалентная емкость – представляет в электрической эквивалентной схеме элемент, который запасает энергию упругой деформации материала сердечника , обусловленную магнитострикционным эффектом.
Данные параметры могут быть также наглядно представлены на плоскости логарифмических характеристик │Z(jw)│ - см. рисунок 3.
На рис. 3 могут быть выделены три основные зоны. В зоне I - z(jω) имеет индуктивный характер. В зоне II z(jω) имеет активно-резистивный характер. В зоне III z(jω) емкостной характер.

Характерные частоты перехода между зонами ω₁, ω₂, ω₀ определяются из следующих условий:
- ω₁ – из равенства ω₁L_э=R_э;
- ω₀ – из равенства
ω₂ – из равенства
С целью подтверждения представленных теоретических результатов были проведены соответствующие измерения с различными магнитными материалами. На рис. 3 представлены измеренные значения │Z(jω)│ и полученные в результате расчета по эквивалентной схеме замещения.

Как видно из рис.4 расхождение результатов расчетов z(p) для модели и результатов измерений существенно меньше, чем в случаях, когда частотная зависимость μ(p) не учитывается. Видим, что до частоты 15 кГц модуль сопротивления дросселя имеет индуктивный характер с постоянной магнитной проницаемостью равной μ_н .

Далее сопротивление дросселя приобретает резистивный характер до частоты 1 МГц. Видим из графика, что на данном участке кривая 1 растет, а кривая 4 практически постоянна, т.е. на данном участке расчет сопротивления дросселя без учета зависимости проницаемости от частоты приводит к ошибкам в разы по отношению к реальному значению сопротивления дросселя.

Кривая 2 – характеризует расчетное значение суммарной межвитковой емкости дросселя и составляет для измеренного случая менее 10 пФ. Однако полученная математическая модель указывает на наличие «внутренней» емкости сердечника порядка 80 пФ. Видим из графика, что кривая 5 с высокой степенью точности аппроксимирует замеренное сопротивление дросселя. Т.е. подтверждается наличие «внутренней» емкости сердечника, превышающей межвитковую емкость в 8 раз. Учет только расчетной межвитковой емкости без понимания наличия «внутренней» емкости сердечника на частотном диапазоне более 1МГц приведет к ошибке в расчете сопротивления дросселя в 8 раз.

Из полученных соотношений 12 а, б, в следует, что для того чтобы вычислить искомые величины L_Э,С_э,R_Э необходимо знать постоянные коэффициенты m, k, β или пересчитанные f₀, ξ, k исходного дифференциального уравнения (7). В работе [4] приведены формулы для вычисления этих коэффициентов, выраженные через параметры, характеризующие свойства материала сердечника, контролируемые в процессе изготовления. В документации на поставку указанных изделий рассматриваемые сведения не приводятся. В настоящей работе коэффициенты f₀, ξ, k предлагается определять по частотным характеристикам μ'(p) и μ"(p), которые, как правило, приводятся производителями сердечников (см., рис.1). Для получения необходимых соотношений преобразуем выражение (7) к форме с выделенными вещественной - μ'(p) и мнимой - μ"(p) частями, сделав подстановку p=jω:
, где:

- действительная часть μ(p);

- мнимая часть μ(p).
Из полученных соотношений (14), (14а), (14б) нетрудно получить следующие величины:
– коэффициент передачи для постоянного сигнала;
– круговая резонансная частота ферромагнитного материала;
– значение модуля мнимой части μ(ω) на резонансной частоте;
– значение модуля действительной части μ(ω) на нулевой частоте.
По найденным выше величинам могут быть найдены искомые значения ω₀ и ξ,
ω₀ – определяется по графику μ''(ω) (см. рис. 1) как частота, на которой μ''(ω) достигает экстремального значения;
Таким образом, для искомых значений L_э,С_э,R_э (с учетом выражений (13) и (15)) можем в окончательном виде записать:
L_Э=L (16а)


где ω₀ – определяется по графику частотной характеристики мнимой части μ"(ω), как частота на которой μ"(ω) достигает экстремального значения (см. рис. 1);
μ'(0) – значение модуля частотной характеристики действительной части μ(ω) на нулевой частоте (см. рис. 1).

В рассмотренной модели не учитывались потери в обмотке дросселя. При необходимости их можно учесть, если последовательно с цепью рис.2 включить резистор с омическим сопротивлением, равным сопротивлению обмотки дросселя по постоянному току, либо с учетом скин-эффекта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показана необходимость учета частотных свойств материала сердечника при расчете комплексного сопротивления дросселя в широком диапазоне частот. Отмечено отсутствие в современной технической литературе инженерных методик расчета, учитывающих частотные зависимости магнитной проницаемости материала сердечника. Предложена математическая модель полного сопротивления дросселя с ферромагнитным сердечником, полученная на основе теории доменных структур ферромагнетиков. Модели поставлены во взаимно-однозначное соответствие электрическая эквивалентная схема замещения дросселя, позволяющая с достаточной для инженерных расчетов точностью рассчитывать полное сопротивление дросселя в широком диапазоне частот. Предложена методика расчета параметров элементов для предлагаемой схемы замещения. Сопоставление результатов расчетов полного сопротивления дросселя с учетом и без учета частотных свойств магнитной проницаемости сердечников подтверждают актуальность проведенного исследования. Учет только начальной магнитной проницаемости сердечника, а также расчетной межвитковой и межслоевой емкостей приводит к ошибке при расчете сопротивления дросселя в разы, по сравнению с реальными значениями. Разработанная модель на исследованных образцах показала погрешность аппроксимации сопротивления дросселя не более 10% от измеренных значений.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Аркадьев В.К. «Электромагнитные процессы в металлах», М 1936г.
2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. «К теории дискретности магнитной проницаемости ферромагнитных тел» М. Наука 1969г.
3. Вонсовский С.В., Шур Я.С. «Ферромагнетизм» М. 1948г.
4. Стародубцев Ю.Н., Белозеров В.Я. «Магнитные свойства аморфных и нанокристаллических сплавов». Екатеринбург 2002г.
5. Филиппов Б.Н, Жаков С.В «Теории динамических свойств ферромагнитных монокристальных пластин, обладающих доменной структурой. Физика металлов и металловедение», 1972г.
6. Беккер Р. «Динамика граничного слоя и проницаемость на высоких частотах» М. 1952г.
7. Каталог «Soft ferrites and accessories» Ferroxcube.
8. Каталог «Soft ferrites and accessories» TDK Epcos.
9. Каталог «Nanocrysyalline soft magnetic material Finemet» Hitachi Metals. 10. Ицхоки Я.С. «Импульсная техника» М. 1949г.
11.Ицхоки Я.С., Овчинников Н.И. «Импульсные и цифровые устройства» М. 1972г.
12. Бальян Р.Х. «Трансформаторы для радиоэлектроники» М. 1971г.
13. Русин Ю.С. «Трансформаторы звуковой и ультразвуковой частоты» Ленинград 1973г.
14. Русин Ю.С. «Расчет электромагнитных систем» Ленинград 1968г.
15.Дмитриков В.Ф., Ростовцев А.Г. «Динамические потери в ключевых транзисторных генераторах», «Техника средств связи» 1981 выпуск 6.